Функции, дифференцируемые определенное количество раз

В вариационном исчислении считается, что функции—это функции, дифференцируемые определенное количество раз (в первом примере один раз), а интегралы существуют. Предметом вариационного исчисления является разработка способов исследования функционалов на минимум или максимум (на экстремум или на стационарное состояние). Рассмотренные выше примеры уместно продолжить и поставить задачу на поиск экстремума. В первом примере надо найти кривую, соединяющую точки, которая имеет минимальную длину; во втором — найти кривую также проходящую через точки, но заданной длины (это существенное дополнительное ограничение на множество кривых, из которых следует выбрать одну нужную кривую), которая охватывает максимальную площадь. Ответы на эти экстремальные задачи в данных случаях очевидны, в первом случае функционал будет минимален на прямой, во втором случае кривой, сообщающей максимум функционалу, будет дуга окружности. В общем же случае ответ не очевиден. Экстремалью называют функцию, сообщающую экстремум функционалу. Кривые или функции, из которых выбирается экстремаль называют кривыми (функциями) сравнения.

Для функционалов в вариационном исчислении важную роль играет понятие непрерывности. Для того, чтобы сформулировать это понятие для функционалов, необходимо ввести понятие функционального пространства и понятие близости его элементов — кривых (функций) сравнения. Последнее можно сделать, введя для функции понятие нормы— аналог расстояния между точками в эклидовом пространстве. Множество функций сравнения образует линейное функциональное пространство, если умножение любой функции из этого множества на действительное число и сложение любых функций множества между собой дают новые функции, не выходящие из этого множества. Например, множество определено как совокупность всех непрерывных функций. Из анализа известно, что умножение непрерывной функции на действительное число, а также сложение непрерывных функции, дают новые функции, причем они также непрерывные. Такое множество составляет по определению функциональное пространство. Другой пример. Пусть множество определено как совокупность функций, имеющих одну точку разрыва. Такое множество не образует функционального пространства, так как сумма например двух функций может иметь уже две точки разрыва. Положение в этом примере изменилось бы на обратное, если бы точки разрыва всех функций множества имели одни и те же аргументы.

Дополнительная информация: правильное проектирование торговой точки и оснащение её соответствующим продукции оборудованием во много раз повышает заинтересованность клиентов к товарам. Сегодня купить торговое оборудование можно в Центре магазиностроения Торгкомплект, где представлен широчайший ассортимент продукции.