Уравнение Генки и Гейрингер

В настоящее время хорошо развита математическая теория плоского течения или плоского деформированного состояния. Для идеально пластичного несжимаемого материала она разработана настолько подробно, что позволяет решить практически любую технологическую задачу по расчету напряженного и деформированного состояния с высокой точностью. Метод решения этих задач называют методом линии скольжения или методом характеристик. Первая половина настоящей главы будет посвящена рассмотрению этого метода. Идеально пластичный материал — грубая абстракция, от которой можно отказаться и точнее учесть реологические свойства деформируемого материала. Однако для того, чтобы справиться с математическими трудностями решения необходимо ввести упрощение: например, принять течение безвихревым, т. е. считать, что жесткого вращения частиц нет. Решение задач плоского безвихревого течения несжимаемого материала достигается с использованием теории функций комплексного переменного. Этому будет посвящена вторая часть настоящей главы. Оба вида течения имеют определенный практический, а также теоретический интерес. Причем практический интерес важен не столько же, на сколько важны установки пожаротушения в любом помещении. Результаты решения по обоим методам (линии скольжения и с помощью теории функции комплексного переменного) могут оказаться полезными при отработке приближенных численных методов решения более общих задач трехмерного течения.

В предыдущей главе была рассмотрена полная система дифференциальных и конечных уравнений теории пластичности для случая изотермического плоского течения без массовых сил идеально пластичного несжимаемого материала. Запишем еще раз эти уравнения, смысл последнего уравнения станет ясен, если вспомнить гипотезу о пропорциональности девиаторов для плоского течения несжимаемого материала. Уравнения равновесия и условие пластичности образуют полную, или замкнутую, систему трех уравнений относительно трех неизвестных — напряжений. Задачу, которую можно решить интегрированием одних только уравнений равновесия вместе с условием пластичности при граничных условиях, заданных в напряжениях, называют статически определимой. В более сложных случаях задания смешенных граничных условий, когда на границе заданы напряжения и скорости, приходится рассматривать одновременно все уравнения системы.