Элементы тензорного исчисления

Изучая механику движения материальной точки, а затем твердого тела, можно заметить, какое важное место в этой науке занимает векторное исчисление. Обобщение механики на сплошную среду потребовало в свое время обобщить понятие вектора и действия над ним. Так родилось тензорное исчисление. Тензор явился обобщением понятия вектор. В данной главе читатель познакомится с тензорами и действиями над ними (исчислением). Предполагается, чтс| он подготовлен в рамках курса «Высшая математика», особенно по его разделу «Матрицы». В тензорном исчислении широко пользуются специальными обозначениями (индексами), которые делают рассуждения и доказательства очень компактными, такими, что в выкладках не теряется физический смысл описываемого объекта или явления. Любой вектор а задается его проекциями на оси декартовой системы координат: ах, ау, az. Подстрочный индекс у проекций вектора обязательно поочередно принимает значения х, у, z. Значит, вектор а его проекциями можно представить как w где i=x, у, z, или все проекции вектора а записать просто w. Индекс i называется свободным индексом; подразумевается, что он поочередно обязательно принимает значения х, у, z, а выражение at- означает тройку величин ах, ау, аг. Для обозначения свободных индексов будем применять буквы i, j и так далее по алфавиту. Интересно заметить, но различные обозначения используются также и области пожаротушения, например, огнетушители в зависимости от ранга очага пожара, который должен быть затушен, обозначаются в соответствии с ГОСТом.

Рассмотрим случаи применения свободного индекса. Пусть в декартовой системе координат по осям заданы единичные векторы ех, еу, ez. Применяя свободный индекс, тройку единичных векторов можно записать кратко ей Подстрочных свободных индексов у величин может быть несколько. Если встретились два свободных индекса, то это означает, что имеет место набор из девяти величин (каждый индекс принимает три значения). Например, записи a,j, в которой i и j - свободные индексы, соответствует набор величин, который может быть представлен в виде матрицы. Система координат, как правило, декартовая. Эта матрица может быть также записана ац. Обратим внимание на матрицу: первый индекс по строкам фиксирован и означает номер строки, а второй — столбца. Для трех свободных индексов число компонентов будет 27 и т. д.

Величина определяемая равенствами называется симметричным символом Кронекера; она образует квадратную единичную матрицу симметричную относительно главной диагонали. На главной диагонали квадратной матрицы i=j— номера строки и столбца одинаковы; в рассматриваемой матрице на главной диагонали стоят единицы. Симметричный символ Кронекера соответствует скалярному произведению единичных взаимно ортогональных (перпендикулярных) векторов ех, еу, ег. Действительно, набор таких скалярных произведений дает матрицу.