Теория пластичности в криволинейных косоугольных координатах

Задачам обработки металлов давлением свойственны большие пластические деформации. Металлы обладают сложными физико-механическими свойствами, которые изменяются в процессе деформации. Необходимо иметь расчетный аппарат, который позволил бы наблюдать за процессом пластического формоизменения каждой отдельной частицы, из которые состоит обрабатываемое тело. Кроме того, механика сплошных сред формирует многие законы (сохранения массы и т. п.) для материальных частиц. Удобна в этом смысле так называемая сопутствующая система координат, которая связана с материальными частицами и деформируется вместе с обрабатываемым телом. В сопутствующей системе координаты материальных частиц обрабатываемого тела постоянны во время деформации. Положение материальной частицы в пространстве определяется как положение геометрической точки.

Допустим, деформируемое тело в исходном состоянии рассматривалось в декартовой системе координат, связанной с материальными частицами тела (подобно делительной сетке, которую применяют в экспериментах). Тогда в процессе формоизменения тела декартова система координат исказится и обратится в криволинейную косоугольную систему координат, которая является сопутствующей. Умножение осуществляют с тензорами любого ранга и строения. При умножении перемножают компоненты каждого тензора-сомножителя, результаты располагают согласно порядка индексов тензора-произведения. При умножении тензора на скаляр на него умножают каждый компонент. Так, умножение на скаляр 1/2 использовано в формуле.

Свертывание осуществляют лишь над тензорами, представленными смешанными компонентами. В результате свертывания ранг тензора уменьшается на две единицы. Чтобы осуществить свертывание, достаточно приравнять один из контравариантных индексов одному из ковариантных индексов исходного набора компонентов тензора, а затем осуществить суммирование по одинаковому индексу. Существует операция опускания или поднятия индексов, которой не пользовались при изучении тензоров в ортогональных декартовых координатах. Ее осуществляют умножением некоторого тензора на метрический тензор и последующего свертывания по паре индексов. Пусть, например, требуется из контравариантных компонент тензора второго ранга получить смешанные компоненты тензора. Для этого выполняют операцию опускания индекса.

Дополнительная информация: одним из шедевров современного металлопроката, который относительно недавно появился на российском рынке, является профнастил, качества которого позволяют использовать его в широкой сфере деятельности, связанной со строительством и ремонтом.