Аппроксимация функциями опытных данных

Метод анализа размерностей позволяет указать минимальное число и вид параметров, от которых зависит изучаемая величина. Так формула указывает, что безразмерная сила л может быть функцией четырех безразмерных параметров, характеризующих процесс прокатки. Однако исследователю необходима конкретная формула-функция, по которой можно было бы подсчитать по значениям, реализующимся в каком-либо конкретном случае. Эту эмпирическую формулу (математическую модель) можно получить, аппроксимируя (приближая) опытные данные некоторой математической зависимостью. В данном пункте будем считать, что изучаемое явление для исследователя столь ново, что он практически не имеет информации о виде искомой зависимости. Для ее получения необходим достаточно обширный эксперимент по следующему плану. Для аргументов изучаемой зависимости (их иногда называют факторами) назначают область возможных значений, например, в виде параллелепипеда. Интервал изменения каждого из факторов делят на части (уровни). Подобная точность в расчетах важна также при производстве таких многофункциональных объектов, как мебель для стоматологии.

Параллелепипед как бы рассекается плоскостями, параллельными его граням. В местах пересечения этих плоскостей образуются узлы или точки. В каждой точке осуществляется эксперимент и фиксируется эмпирическое значение искомой функции. Нетрудно убедиться на примере трех факторов, что минимальное число опытов равно. Если каждый из факторов рассматривать на трех уровнях, что означает разбиение диапазона изменения фактора на два участка, то число опытов будет равно З3. Нетрудно догадаться, что число опытов для трех факторов в общем случае будет i3, здесь i — число уровней варьирования факторов. Для получения математических моделей проводят активный эксперимент, т. е. опыты осуществляют при строго фиксированных и заранее назначенных значениях факторов. Абсолютно точно назначить и поддерживать в опыте значения факторов практически невозможно, но предполагается, что их колебание незначительно и они мало влияют на значение изучаемой величины. Экспериментальные значения изучаемой величины называют откликом. Экспериментальные значения функции при повторении опытов в одних и тех же условиях дает некоторое «рассеяние». Оно подчиняется закону, близкому к нормальному закону распределения случайных величин. Подбор аналитической зависимости в этом случае может осуществляться по методу наименьших квадратов.